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lunes, 2 de enero de 2012

MATEMÁTICOS Y PLATÓN


Relieve funerario. Museo Arqueológico de Atenas.


Hoy, en El País, entrevista con un ilustre ganador de los máximos reconocimientos en el mundo de las matemáticas. Como se puede ver, referencias a Platón y a las ideas, tan vinculadas a las matemáticas, de belleza y verdad. Su nombre, Michael Francis Atiyah:

Un paseo por la historia de las matemáticas desde Pitágoras concebida como una obra coral. "Es una construcción de grandes estructuras de ideas añadiendo cada una algo a la anterior. Como en una catedral gótica", dice. "Por eso se parece a la arquitectura, pero nosotros revisamos constantemente los cimientos, y  eso en una casa no conviene...", bromea. La analogía le gusta y se recrea: "Pero los matemáticos más que un edificio construimos una ciudad ¡un imperio! Pero un imperio bueno, democrático". Y reivindica a los científicos: "Platón creía en el sabio que lideraba al pueblo. Nosotros debemos ser líderes de la civilización".
¿Y es posible que esa gigantesca obra se termine, que un día no quede más por descubrir? "No le veo límite", asegura, "de una teoría surge otra y se cubre más terreno". No hay peligro, pues, de que se agote ese caudal de felicidad que encuentra el sabio en su trabajo. De felicidad y de belleza, otra palabra que menciona de forma recurrente. La belleza le gusta por indiscutible, porque "se ve inmediatamente". Y también porque puede ser "una antorcha que te conduzca a la verdad, porque en las matemáticas ambos conceptos van a menudo unidos".

sábado, 22 de octubre de 2011

PIERO DE LA FRANCESCA


Vista de  Florencia


El platonismo tuvo un importante papel en el Renacimiento italiano, sobre todo con la fundación de la Academia Florentina. Allí confluyeron filósofos y humanista, pintores, escultores y arquitectos. Todos ellos enamorados de la geometría, de la divina proporción, de la mágica armonía de los números capaz de transmutarse, si un artista-demiurgo es capaz, en belleza material y sensible. Javier Krahe, cantante español actual, más amigo de Diógenes el cínico, ironiza sobre esta pasión de geómetras con esta canción plena de dobles sentidos en la que no se da puntada sin hilo:

sábado, 8 de enero de 2011

MÚSICA Y EDAD MEDIA



Tomado del texto anónimo Scholia Enquiriadis del Siglo X y citado por Enrico Fubini en su obra La estética musical desde la Antigüedad hasta el siglo XX:
"¿Qué es música? La ciencia de la buena modulación.Y buena modulación significa ordenar la melodía con sonido suave. Pero no se modulará de forma conveniente si uno se sirve de la suavidad para cosas vanas.
Todo cuanto sea suave dentro de una melodía, deriva del número, que es el que mide la amplitud de las voces; todo cuanto los ritmos hagan deleitable, bien en las melodías, bien en los diferentes movimientos, deriva del número únicamente...El sonido, de por sí, pasa con rapidez; sin embargo, el número permanece".
El autor termina afirmando que el número, por cuanto que es eterno, es divino, motivo por el que el discípulo puede llegar a la conclusión de que "no sólo la música, sino también las otras tres disciplinas, existen exclusivamente si se asientan sobre números".
¿Cuáles crees que son esas "otras tres" disciplinas? ¿Te acuerdas de la educación que propone Platón para los futuros gobernantes?

miércoles, 9 de diciembre de 2009

JÜNGER Y LOS NÚMEROS



Este texto pertenece al escritor alemán Ernst Jünger. Lo escribió el año 1966 y forma parte de una obra de carácter autobiográfico titulada Pasados los setenta. Creo que a estas alturas y si preparar exámenes no os ha secado el cerebro deberíais estar en condiciones de entenderlo, al menos en parte. El texto expone a la perfección la doble cara de los números en función de la consideración que de ellos hagamos. ¿Seríais capaces de desentrañarlo?
Ánimo con vuestros exámenes...

Los números no pueden ser dioses, como opinaban los neopitagóricos. Eso sería fetichismo en un plano superior.
Pero los números son algo más que meros receptáculos, algo más que criterios de medida surgidos de una invención refinada. No son sólo magnitudes inventadas, sino también magnitudes descubiertas; eso se halla confirmado por la física, por la química, por la cristalografía, por la botánica...
Los dioses no pueden ser números, pero en los números hay algo divino. En ellos captamos la coreografía del Universo, las huellas de las pisadas de un baile cuyo coreógrafo permanece oculto...
Con los números comienza también el engaño, la distracción. Los números son vestidos; nuestro último esfuerzo consiste en quitárnoslos.

jueves, 5 de noviembre de 2009

POEMA DE FRAY LUIS DE LEÓN

Señala los elementos platónicos que aparecen en el poema siguiente:

ODA AL MAESTRO SALINAS

El aire se serena
y viste de hermosura y luz no usada,
Salinas, cuando suena
la música extremada,
por vuestra sabia mano gobernada.
A cuyo son divino
el alma, que en olvido está sumida,
torna a cobrar el tino
y memoria perdida,
de su origen primera esclarecida.
Y como se conoce,
en suerte y pensamiento se mejora;
el oro desconoce,
que el vulgo vil adora,
la belleza caduca engañadora.
Traspasa el aire todo
hasta llegar a la más alta esfera,
y oye allí otro modo
de no perecedera
música, que es la fuente y la primera.
Y como está compuesta
de números concordes, luego envía
consonante respuesta,
y entre ambas a porfía
se mezcla una dulcísima armonía.
Aquí la alma navega
por un mar de dulzura, y finalmente
en él así se anega,
que ningún accidente
extraño y peregrino oye o siente.
¡Oh desmayo dichoso!
¡Oh muerte que das vida!, ¡Oh dulce olvido!
¡Durase en tu reposo
sin ser restituido
jamás a aqueste bajo y vil sentido!
A este bien os llamo,
gloria del apolíneo sacro coro,
amigos, a quien amo
sobre todo tesoro;
que todo lo visible es triste lloro.
¡Oh! suene de continuo,
Salinas, vuestro son en mis oídos
mientras al bien divino
despiertan mis sentidos,
quedando a lo demás adormecidos.

domingo, 25 de octubre de 2009

LA DIVINA PROPORCIÓN II


Myra. Tumbas rupestres helenísticas. Frigia. Turquía


Cuando decimos que Platón da importancia a la Proporción áurea nos estamos refiriendo a varios aspectos de su sistema. Recordemos que para él el mundo material ha sido conformado siguiendo el modelo perfecto de las Ideas. El autor de este trabajo ha sido el Demiurgo, que conoce el modelo y es bueno e inteligente.
El relato en forma de mito de este proceso aparece en el Timeo, uno de los más célebres diálogos platónicos. Este diálogo, datado tradicionalmente en la época de la vejez del maestro, transcurre en Atenas, al final de los años ’20 del S. V. Sócrates es , como casi siempre, uno de los interlocutores, pero en este caso adopta un papel secundario, correspondiendo el protagonismo a Timeo, personaje al que se hace proceder de la región de Lócride, en Grecia central, al norte del Golfo de Naupacto. Nos lo presentan como un hombre de edad avanzada que ha sido político importante en su patria y ha alcanzado además el nivel más elevado del conocimiento filosófico. No se especifica su escuela, pero Lócride era una región en la que se implantó con fuerza el pitagorismo, por lo que no hay dudas al respecto. No nos dicen explícitamente que Timeo es pitagórico simplemente porque resulta innecesario una vez que se ha dicho cuál es su procedencia.
El personaje deleita a sus contertulios con un relato en forma de mito en el que expone de modo alegórico el proceso que llevó del caos al cosmos; el proceso por el que el Demiurgo transformó la materia caótica en un todo organizado racionalmente. Todos sabemos a estas alturas que el todo no es la simple suma de sus partes. Esto nos lo presenta Platón señalando que el elemento armonizador utilizado por el Demiurgo fue la proporción. Y…¿Qué proporción? Juzga tú mismo:
Por lo cual, el Demiurgo, cuando comenzó a construir el cuerpo de este mundo lo hizo a partir del fuego y de la tierra. Pero no es posible unir bien dos elementos aislados sin un tercero, ya que es necesario un vínculo en el medio que los una. El vínculo más bello es aquél que puede lograr que él mismo y los elementos por él vinculados alcancen el mayor grado posi­ble de unidad. La proporción es la que por naturaleza realiza esto de la manera más perfecta. En efecto, cuando de tres números cualesquiera, sean enteros o cuadrados, el término medio es tal que la relación que tiene el primer extremo con él, la tiene él con el segundo, y, a la inversa, la que tiene el segundo extremo con el término medio, la tiene éste con el primero; entonces, puesto que el medio se ha convertido en principio y fin, y el principio y fin, en medio, sucederá necesariamente que así todos son lo mismo y, al convertirse en idénticos unos a otros, todos serán uno. Si el cuerpo del universo hubiera tenido que ser una superficie sin profundidad, habría bastado con una magnitud media que se uniera a sí misma con los extremos; pero en reali­dad, convenía que fuera sólido y los sólidos nunca son conectados por un término medio, sino siempre por dos. Así, el Demiurgo colocó agua y aire en el medio del fuego y la tierra y los puso, en la medida de lo posible, en la misma relación proporcional mutua -la relación que tenía e fuego con el aire, la tenía el aire con el agua y la que tenía el aire con el agua, la tenía el agua con la tierra-, después ató y compuso el universo visible y tangible. Por esta causa y a partir de tales elementos, en número de cuatro, se generó el cuerpo del mundo. Como concuerda por medio de la proporción, alcanzó la amistad, de manera que, después de esta unión, llegó a ser indisoluble para otro que no fuera el que lo había atado.
Platón, Timeo, 31-32. Diálogos, Biblioteca Clásica Gredos. Vol VI

LA DIVINA PROPORCIÓN I



Templo de la Concordia. Agrigento. Sicilia

Uno de los tópicos más influyentes del pitagorismo y que alcanza plena vigencia a través del platonismo es la llamada sección áurea. Es definida así por Euclides en sus Elementos, Libro VI., definición 3:
Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor.
Esta subdivisión de un segmento era tan común en la geometría griega que no le llegaron a dar un nombre especial. Simplemente la llamaban la sección. Desde el Renacimiento y la obra del florentino Luca Pacioli se le denomina divina proporción y por Leonardo DaVinci y Kepler sección áurea o de oro.
Esta sección áurea está presente en el arte egipcio, indio, chino, islámico y domina el arte griego. Persiste, aunque menos evidente, en la arquitectura gótica medieval y resurge plenamente en el Renacimiento. La divina proporción se encuentra en la naturaleza y es uno de los métodos canónicos de composición más utilizados a lo largo de la Historia del arte.
Veamos un breve listado de obras que lo utilizan:

a) Arquitectura: Pirámide de Keops, Partenón de Atenas, Templo de la Concordia de Agrigento, Tumba rupestre de Myra (ver foto de la siguiente entrada), Arco de Septimio Severo en Roma, Puertas de la Gran Muralla china, S. Pablo de Londres, Universidad de Salamanca, Sta. María de las Flores en Florencia…
b) Pintura: El Bautismo de Cristo, Piero Della Francesca, La Primavera, Boticelli, La Santa Cena y La Anunciación, Leonardo Da Vinci, Las Meninas, Velázquez, Leda Atómica, Dalí…

Quizás fuera Vitrubio, el gran teórico de la arquitectura antigua del S. I a.C., autor del tratado De architectura, quien más explícitamente trató este tema, pero en su caso relacionándolo expresamente con el cuerpo humano. Para este autor los órganos sexuales dividen el cuerpo en dos mitades exactas, pero el ombligo lo divide de acuerdo con la sección áurea. Según Vitrubio, los escultores griegos habían estudiado en profundidad las proporciones del cuerpo humano, y por tanto la divina proporción se halla presente en el canon utilizado en la escultura griega.
(Para más información, Pitágoras, el Filósofo de los números, de Miguel González Urbaneja, ed. Nivola)

domingo, 11 de octubre de 2009

MÚSICA EN GRECIA (II)


Mosaico de Orfeo. Museo del Bardo. Túnez


Desde los pitagóricos se atribuye a la música un importante valor ético y por tanto una gran potencia en orden a la educación. Ya hemos dicho que es una de las actividades a las que los pitagóricos atribuyen carácter purificador. Jámblico escribió: Los pitagóricos purificaban el cuerpo con la medicina y el alma con la música. El origen divino atribuido tanto a la citarística como a la aulética (arte de tocar la flauta) demuestran la importancia que se da a la música, más allá siempre del mero placer estético.
En la escuela pitagórica el concepto armonía tiene un primer significado metafísico, deviniendo concepto musical por analogía. Filolao, pitagórico del S. V. a.C., nos dice: la armonía sólo nace de la conciliación de contrarios, pues la armonía es unificación de muchos términos que se hallan en confusión, y acuerdo entre elementos discordantes. Así, entendemos mejor el concepto de armonía universal que lleva a los griegos a denominar cosmos al universo.
El número armoniza y hace comprensibles las cosas y las relaciones que existen entre ellas. El número, y por tanto también la armonía, es fundamento de la inteligibilidad del mundo.
La doctrina pitagórica de la música fue desarrollada en su aspecto ético y pedagógico por un tal Damón, filósofo ateniense del S. V. a.C. su obra será recogida y completada por Platón. Pero eso vendrá más adelante.
(Para interesados en el tema de la música en Grecia: La estética musical desde la Antigüedad hasta el siglo XX. Enrico Fubini. Alianza editorial.)

lunes, 28 de septiembre de 2009

PITÁGORAS Y EL CUBISMO


Las Señoritas de Avignon. Picasso.1.907

Estractos de la obra "Meditaciones estéticas. Las pinturas cubistas" del intelectual francés Guillaume Apollinaire, publicado en París en 1.913:
"A los nuevos artistas-pintores se les han reprochado vivamente sus preocupaciones geométricas. Sin embargo, las figuras de la geometría son la base del dibujo. La geometría, ciencia que tiene por objeto el espacio, su medida y sus relaciones, fue en todo tiempo la regla misma de la pintura...Se puede decir que la geometría es a las artes plásticas lo que la gramática al arte del escritor.....
El cubismo se diferencia de la antigua pintura porque no es un arte de imitación, sino de pensamiento que tiende a elevarse hasta la creación...El aspecto geométrico que tan vivamente impresionó a quienes vieron las primeras telas científicas derivaba del hecho de que la realidad esencial se ofrecía en ellos con gran pureza y se eliminaba totalmente el elemento visual y anecdótico....
Amo el arte contemporáneo porque amo, sobre todo, la luz; todos los hombres la aman por encima de todas las cosas: por ello inventaron el fuego."

 En Apollinaire encontramos una defensa del arte como creación, no como imitación. Y es una creación que busca, de modo científico, ofrecer la esencia de la realidad eliminando la pura apariencia, los elementos anecdóticos. Y a su juicio esa esencia es geométrica...¿Habría sido Pitágoras amigo de los pintores cubistas?

PITÁGORAS Y LA GEOLOGÍA



Sistemas de cristalización.

Según los pitagóricos, y nos remontamos hasta el S. VI a.C., la esencia de la realidad material se ha de buscar en un principio inmaterial: los números. La geometría nos debería permitir alcanzar el conocimiento de lo que son de verdad los cuerpos materiales, más allá de su apariencia cambiante y múltiple.
Los geólogos nos hablan de siete sistemas naturales de cristalización de los sólidos. Esta sorprendente observación no tuvo lugar hasta principios del S. XIX y fue el francés Haüy quien la formuló después de fijarse en la regularidad de las pequeñas fracciones de cristales que obtuvo mediante el proceso de exfoliación.
Si analizamos la figura que procede de esta página, vemos cómo esa cristalización se puede reflejar en figuras geométricas regulares.
Curioso, ¿verdad?

domingo, 27 de septiembre de 2009

MÚSICA EN GRECIA


Orfeo. Mosaico romano del museo arqueológico de Palermo.

Estamos viendo estos primeros días de clase la importancia que para los griegos tiene el concepto de orden, entendido como proporción y armonía. Toda la visión griega del mundo está llena de estas ideas; de ahí la importancia que muchos pensadores otorgan al arte, que podríamos entender como representación a pequeña escala del perfecto modelo cósmico.
La música es una de las artes en que más temprano se hacen patentes las distintas concepciones que se encuentran en tensión en el interior de la cultura griega. Los mitos de Orfeo y Dioniso representan las posturas extremas: El primero es siempre representado tañendo su lira y el segundo, sin embargo, es un excelso flautista. La música de la lira acompaña al canto: palabra y música son inseparables; poesía y sonido como dos caras de la armonía artística.
Pero la flauta excluye por motivos obvios el acompañamiento de texto. El dios obtiene sus poderes de la música misma, en ocasiones acompañada por un baile desenfrenado.
Estos son los extremos en tensión: El embeleso órfico y el furor dionisíaco. El poder de la armonía entre la música y la palabra frente a las fuerzas primigenias desatadas por el poder inmenso del sonido...